人物10302 項目5154 室內579 家居及產品163 文章2370 方案1359 攝影778 視頻225 圖書201 讀者來稿 最新評論21,694 所有作品11280 所有圖片152,851
spline: 計算機曲線簡史(轉載)
一些建筑師將采用自由曲面設計和計算機輔助制造技術稱為前沿,甚至是前衛。雖然在建筑設計領域內可能是這樣,但事實上,這些技術本質上并沒有什么新意。與其他領域的同行相比,建筑師事實上已經落后于其他領域。本文試圖通過總結計算曲線的巧妙發展,來解決這種知識上的不足,而這一切都發生在其他行業中。
來源:馬海東

作者: Alastair Townsend (經過作者親自授權)
英文網址: http://www.alatown.com/spline-history-architecture

中文整理: 馬海東 ,并提供了一個deboor曲線算法的grasshopper插件(見文末的下載鏈接)

一些建筑師將采用自由曲面設計和計算機輔助制造技術稱為前沿,甚至是前衛。雖然在建筑設計領域內可能是這樣,但事實上,這些技術本質上并沒有什么新意。與其他領域的同行相比,建筑師事實上已經落后于其他領域。本文試圖通過總結計算曲線的巧妙發展,來解決這種知識上的不足,而這一切都發生在其他行業中。

這是一個引人入勝的故事。

任何一個只需點擊幾下鼠標就能畫出曲線的設計師,可能都會從了解這項技術–我們現在認為是理所當然的技術–是如何發展起來而受益匪淺。

半個多世紀前,在計算機數控制造(CNC)領域,計算出三維曲面的需求是第一個計算機輔助設計(CAD)軟件誕生的動力,其動力主要來自汽車和航空工業。 而娛樂行業的數字動畫師們開發出了直觀地平滑拓撲模糊形式的方法。這些解決方案已經遷移到今天建筑師們使用的軟件工具中。 然而,曲率的歷史顯然早在計算時代之前就已經有了。它可以追溯到我們早期祖先最原始的努力,將自然材料按照人類的意愿進行彎曲。

曲率一直在建筑中發揮著重要的結構作用,在羅馬的拱門和圓頂建筑中就很明顯,這些拱門和圓頂建筑至今仍然屹立不倒。 彎曲的形式貫穿于建筑史,一直延續到現代,其中Antonin Gaudí的懸鏈拱頂、Félix Candela的薄殼屋頂和Frei Otto的拉伸雙曲面拋物線就是顯著的例子。 曲率也對建筑產生了美學上的影響。例如,在希臘古代,內斂性的使用使柱子在荷載的作用下顯得凸起?,F代主義50年代和60年代,曲線建筑在經歷了相對短暫的全盛時期后,到了20世紀末,曲線建筑已經退潮,只有少數非主流的設想者在其中領航。Frank Gehry的標志性的畢爾巴鄂古根海姆博物館(1997年)改變了這一切。它預示著一場曲線形的形式主義文藝復興,并向主流文化宣告了當代數字建筑時代的到來。值得一提的是,NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines)軟件–特別是Dessault的Catia?–用來構思和協調博物館起伏的鈦合金表皮的建造,是最初為設計戰斗機而開發的技術。 Catia和NURBS的起源都可以追溯到20世紀60年代的巴黎,在那里,計算曲線幾乎同時在兩家競爭對手的汽車工廠中發明了。而 “spline”一詞–今天幾乎成為計算機曲線的同義詞–可以追溯到早期的海上制船業,它最初是指一種靈活的木條,用于劃定船體的平滑橫截面–這種技術(lofting)從古代就開始使用。我們今天使用的計算機建模詞匯中仍然保留著這些術語,這并不是巧合。

鑒于目前建筑中的自由曲面的流行,以及人體工程學形式在我們日常生活中的廣泛流行–從牙刷到自行車頭盔–似乎很少有關于21世紀計算機輔助設計的幾何學基礎的歷史研究(建筑或其他方面),這一點讓人驚訝。 從平凡到崇高,spline劃分了當代美學(曲線和直線),因為它是設計、工程和制造行業的通用語言。然而,它的歷史仍然沒有得到足夠的重視,它的技術基礎通常沒有被理解,即使是那些熱衷于采用spline的人,他們也不太了解,因為他們傾向于認為現代3D軟件的點擊式操作是理所當然的。

大多數關于早期的計算機輔助幾何設計(CAGD)的描述都來自于(主要是學術性的)書籍和論文,這些書籍和論文都是為該領域內的高技術觀眾而寫的。除了一、兩個明顯的例外[i],歷史上的發展都是作為數學方程的演進來介紹的,沒有對其對人類更廣泛的重要性作過多的評論。 這些文本假定要有高深的數學知識,可悲的是,作者并不具備這一點。因此,這本書可能是第一本為用戶群體–即設計師–的直觀理解和利益而寫的非技術性的花鍵故事。 具體來說,對于建筑師來說,值得我們熟悉spline對更廣泛的設計領域的影響,以便將當代建筑發展置于一個更有歷史和技術基礎的背景下。 我希望,解開曲線的神秘面紗,將有助于對現在已經成為事實上的建筑工具:spline——形成更好的鑒賞力,甚至是鑒賞家。

從弓到船 - 機械spline

 

1

 

圖1:來自中石器時代定居點的證據,以及像美洲土著人本土棚屋結構所示,這是一種最簡單的住所形式,是將桿子夯成圓形,向內彎曲,然后將它們捆綁在一起,形成一個堅固的圓頂花格。

到了中石器時代,人類已經學會了用弓來狩獵。當獵人拉弓時,弓的兩端被拉近,產生更大的彎曲度。當木材變形時,木材會儲存彈性勢能,因為木材試圖恢復原來的直線度。木材的天然彈性使樹木能夠長高,但又不會在風中彎曲而折斷。當一長段木材彎曲時,凹面的材料會受到壓縮,而凸面的材料則受到拉力。在彎曲過程中,這些力盡可能均勻地分布在整個木材的長度上,從而產生一個最佳的平滑曲線。

中石器時代定居點的證據以及許多土著文化的證據顯示,原始的住所是以類似的方式建造的[ii]。相對立的兩根樹桿的頂部被釘在一起,形成一個整體的穹頂狀的花格子,并被獸皮、樹皮或草覆蓋。每根木桿的彈性產生了一個拱形,這是一個最佳的結構形狀,在受壓的情況下,給原始的穹頂賦予了強度和剛性(見圖1)。

 

2

 

圖2:由疊加建造幾何形狀組成的船體平面圖。像這樣的橫斷面記錄了合同訂單上的船舶。外側構件(標有圖E/F)是中艙模具。每個橫斷面的部分都與可重構模具上的相應部件有索引。 資料來源。來源:William Sutherland, The Shipbuilders Assistant: or, Some Essays Towardsting the Art of Marine Architecture (London, 1711), 82。

自古以來,人類就利用弧形物體的固有實用性,不僅滿足了人類的基本吃住需求,還能滿足人類的交通需求。從粗略的意義上說,船就是前面提到的原始小屋的簡單倒置。當外皮或其他外層用柏油做了防水層后,人們就有了一個基本的(盡管不穩定)小船。后來,經過幾千年的演變,船的設計和構造也在水、風、船速的動力學作用下得到了精簡。

羅馬人使用全尺寸的木制模板,或者說是模具,制造出可變的木制肋骨來加固他們的船體[iii]。當鋪上木板時,這些骨架肋骨支撐著船體的光滑輪廓(見圖2)。每根肋骨的彎曲輪廓都是由可重構的主模板繪制出來的,該模板由一塊塊弧形和直木片組成。模板上的刻度線標明了每根肋骨的位置。利用這種早期的參數化方法,可以用一個模板制造出一個相同的船隊。

 

3

 

圖3:被稱為 “ducks”的鉤狀砝碼,可以準確地固定一條spline–在這里,僅僅一條薄薄的樺木條–用于描畫船體。資料來源:Edson International

這種做法在整個地中海北部地區一直延續到17世紀[iv]。隨著造船從一門手藝發展到一門科學,圖紙取代了全尺寸的木制模板。繪制肋骨和龍骨圖案的做法被稱為lofting設計,因為車間上方的閣樓(loft)是唯一的干燥無遮擋的地面空間,足以容納1:1的定型過程。長長的曲線是由一條薄薄的柔性木條或鋼筋劃到木材上,稱為spline(見圖3)。spline是由一系列三個或更多的鉤狀金屬砝碼(稱為鴨子)彎曲并固定在一個平面上。當長的彈性spline努力恢復其原始的直線度時,整個彈性spline的應力分布均勻,保證了最佳的平滑、美觀和機械上的良好曲率。這種均勻光滑的質量被造船家稱為 “fairness”,因為它能最大限度地減少船舶在水中的阻力,所以被譽為 “fairness”。到了16世紀,歐洲造船業者已經開始依賴較小的比例尺圖紙來進行繪制設計和施工文件。手持式的機械制圖spline被發明出來,用來繪制重疊的正交投影和橫斷面圖,從而確定了船舶的關鍵基礎幾何形狀。然而,在將圖紙轉化為全尺寸的零件時,造船廠家至今仍采用傳統的lofting技術,使用spline進行loft。

 

4

 

圖4:德國運動學家和地質學家Ludwig Burmester設計的一組曲尺,如1904年Otto Lueger的Lexikon der gesamten Technik(技術詞典)中的說明。 資料來源:Wikipedia contributors, “French curve”。維基百科撰稿人,”法式曲線”,維基百科,自由百科全書。

在這個時期,造船家并不是唯一使用spline的設計師。偉大的意大利文藝復興時期的建筑師 Andrea Palladio 在他著名的論文《建筑四書》中描述了他是如何用一把靈活的尺子來描畫古典柱子[v]的優美膨脹的輪廓。德國的運動學家和地質學家路德維希-布爾梅斯特(Ludwig Burmester)在1900年左右出版了一套標準化的曲線模板(見圖4)(Lueger, 1904年)[vi]。每個卷軸狀的模板都是各種數學曲線的組合。要使用它,繪圖人員需要沿著工具的邊緣找到一個接近的貼合點,然后重新定位,繼續繪制切線曲線。在現代計算技術出現之前,曲尺是建筑師繪制任何不規則光滑物體時的首選工具。

 

5

 

圖5:1955年的巴黎車展上,雪鐵龍的DS 19亮相。在車展的前15分鐘內,就收到了743個訂單。

現代計算機輔助設計(CAD)的誕生可以追溯到法國汽車制造商雪鐵龍[vii]。到了20世紀50年代中期,該品牌已經鞏固了其作為全球領先的創新者的地位。DS是雪鐵龍的旗艦車型,它采用了前衛的技術,如自流平式水氣懸掛系統,可將 “女神”(DS的發音與法語中女神的發音相同:déesse)抬起來,讓她在法國戰后顛簸的道路上毫不費力地漂浮在空中。

當它在1955年的巴黎車展上亮相的時候,這款身材魁梧的DS似乎已經做好了將法國帶入太空時代的準備。哲學家羅蘭-巴特(Roland Barthes)(1957年)將其形容為 “從天而降 “的超凡之物[viii]。事實上,在雪鐵龍開始使用風洞設計的時候,車身的造型是由航空工程師安德烈-勒菲弗爾設計的。在意大利雕塑家Flaminio Bertoni的幫助下,DS也有了藝術氣息。

DS不僅僅是流線型的產物。它也是第一輛量產的一體式汽車,這意味著圓形的金屬表皮支撐著結構性負載,而不是依靠內部的鋼架。在推出五十多年后,DS在其優雅的外形下解決了其獨特的功能,至今仍是人們的偶像(尤其是設計師)。巴特斯將這種詩意的融合概括得非常簡潔。

“(DS)激發人們的興趣,與其說是由它的組件之間的連接,不如說是由它的內涵來激發人們的興趣。眾所周知,流暢性總是完美的屬性,因為它的反面是技術性的人工組裝操作。”

然而,像DS這樣的突破性汽車的無縫組裝,給雪鐵龍帶來了一個關鍵的挑戰。它的解決方案將從根本上重塑設計和人類對幾何形狀和形式的控制。

除了全尺寸藍圖之外,雪鐵龍和其他汽車制造商的設計過程主要依靠實物模型來進行概念開發,并在不同團隊中保留、轉換和共享汽車的幾何形狀。造型設計部門從制作新原型車的小尺寸概念模型開始。通過測量這些小型粘土模型上的偏移點,手工將曲面放大到全尺寸,然后重新繪制到真人大小的繪圖板上。繪制的點用曲尺或彈性spline 尺進行內插,以得到一個最佳的近似值。膠合板的橫截面將被切割出來,然后橫向組裝,形成一個相交的矩陣模板。骨架用粘土進行處理,并進一步雕刻,以創建一個詳細的汽車主模型。在最終成型后,主模型將在熟練的泥塑師的手中繼續進行精雕細琢,然后再將其定型,最后定型為生產所需。

設計師、工程師和機械師在設計零件和制造零件所需的工具時,可以參考主模型的幾何形狀(或其中一個副本)。要提取相關的幾何圖形,并確保其在整體裝配中無縫配合,需要同樣繁重的平移技術。要完成每個零件的設計,需要經過多次反復設計,這在很大程度上依賴于工人的技能、智慧和主觀判斷。然而,通常對幾何圖形的限定性解釋帶來了很大的不一致和人為錯誤的空間。公司需要一種通用的幾何學語言來存儲每個零件的數字,而不是依賴耗時和容易出錯的手工復制過程。

到了20世紀50年代末,雪鐵龍和它的競爭對手開始采用早期的模擬計算機—由于政府的支持—連接到機器上的模擬計算機,用于重復性地從鈑金上壓制車身零件的沖壓模具。這些早期的數控機床需要將坐標以紙帶打孔的形式輸入,以引導刀具的路徑,并在挖掘材料時引導其行程深度[ix]。線條、圓、拋物線和其他常規的幾何函數可以從設計者的藍圖中準確地輸入到機器中,但當時還沒有可靠的自由曲線的方法,更不用說曲面了。

1959年,雪鐵龍聘請Paul de Faget de Casteljau來解決這個缺失的環節。這位年輕的數學家剛從博士學習結束,他的任務是設計出一套方程系統,以便在設計人員和工程師之間可靠地存儲和交流形狀,并將其輸入到驅動新的銑床的原始計算機中。起初,De Casteljau在這個問題上很糾結。他的頓悟是在他意識到,與其說曲線是由點來定義的,不如說曲線是可以通過操作曲線附近的幾個點來精確地繪制和控制[x]。當這些影響點被移動時,曲線就會跟著移動,類似于移動固定船工spline的砝碼的直觀反應。

 

6

 

圖6:在de Casteljau的方法中,沿每一個極點(黑色)按比例距離(即2/3的距離)創建點。新的極點(粉紅色)連接這些點,然后再一次以相同的比例距離沿這些點創建點。新的極點和點被產生,直到最后剩下一個點為止。這個過程可以在每隔一段時間沿著極點的每一個細分點重復進行,以產生一條平滑的曲線。

De Casteljau的算法是一種遞歸插值的方法,已經存在于數學表達式Bernstein多項式中。描述這種微分幾何的公式可能在數學上很高深,但可以直觀地理解(見圖6)。這些影響點被連接起來形成控制線,或者說是de Castelaju所稱的 “courbes à p?les”。沿著這些極點按比例的距離(即2/3的距離)建立點。新的線將這些點連接起來,然后再一次以相同的比例距離創建新的點組。新的極點和點被產生,直到最后剩下一個點。從數學上講,這個過程可以在所有的間隔上重復(由于計算的關系,可以無限次地重復),繪制出平滑的曲率過程。

1963年, de Casteljau 發現了這一發現后,立即趕到車間,僅憑數學數據就著手重建2CV的引擎蓋,只是發現建模人員不愿意合作。De Casteljaus的理論在雪鐵龍內部其他地方也遭到了質疑。僅僅十條線怎么可能實現他之前的其他人在六十頁的方程中沒有成功的嘗試?模型師們對 de Casteljau 的極點嗤之以鼻,認為這似乎太過直觀,聲稱任何人都可以發明它們。這怎么可能是一個值得稱道的方法呢?如果有效的話,它有可能用冷硬的計算來取代汽車生產的手藝,從而使模型大師的影響作用被淘汰。這位年輕的數學家最終確實說服了公司,他的優雅算法是他們所尋求的終極解決方案,通過從數值數據中復制出越來越復雜的汽車零件,最終形成了GS的全身模型。無論是否歡迎,計算機曲線已經到來。

雪鐵龍對de Casteljau的突破進行了嚴格的保密,他的研究結果在8年的時間里沒有被公布。大約過了15年后,人們才把這一發現歸功于他。然而,保密性并沒有阻止他在雪鐵龍的直接競爭對手雷諾公司的同行知道他的成就,盡管他的秘密算法本身并沒有被發現。Pierre Bézier獨立地重現了de Casteljau的成就,并在此過程中,使自己的名字成為曲線計算形式的代名詞。

在20世紀60年代,雷諾面臨著與雪鐵龍相同的挑戰。[xi] 最主要的是,如何將圖紙板上的曲線轉化為與早期數字計算機兼容的可靠準確的數學語言?雷諾還發現,在將每輛車的幾何圖形寫入主模型,并將其傳輸到各個部件中的過程中,內部分歧、修飾、延遲和費用等問題都是充滿了爭議[xii]。 Bézier知道雪鐵龍發現了什么,但他不知道是怎么做的。他解決這個問題的方法與de Casteljau的方法大相徑庭,但最終的結果是相似的。早期,雷諾的人依靠經驗觀察和他的想象力。除了曲線繪圖工具之外,他的部門已經開始使用簡單的數學構造,就像笛卡爾的網格一樣,在上面繪制出規則的數學曲線–弧線、橢圓和拋物線。這些曲線一旦被公式化地嵌入到二維網格中,這些曲線就可以通過數學上的變換來變形。但是,當處理更復雜的現實世界的三維曲線時–例如門板的邊緣–就無法應用這種方法。根本的問題仍然是:如何定義三維空間內彎曲和扭曲的自由曲面?

 

7

 

圖7:Bézier的技術是由兩個相交的圓柱面所產生的曲線(圖中的陰影區域。為了清晰起見,省略了圓柱體外的部分)。 這些幾何形狀可以通過將它們包含在一個立方體中來進行數學定義(左圖)。通過對立方體進行數學變換,里面的曲線也會被重塑(右)。在實踐中,四個頂點之間的三個向量(粉色、藍色、黃色)是唯一需要的參數。

Bézier設想了一個房間,在這個房間里,由彈簧、砝碼和滑輪懸掛在地板、墻壁和天花板之間的柔性金屬擠壓物。盡管這個想象中的裝置不切實際,但事實證明它在概念上是有用的。一個三維參數曲線可以表示為兩個圓柱體的交點(見圖7)。這些圓柱體的中心點和弧度點對應于立方體的頂點,包涵了其中的曲線。Bézier發現,通過對外立方體進行數學變換,他可以控制內部曲線的變形。隨著他的想法的發展,他發現只需要立方體的三條相連的邊就可以構造出不規則的曲線,而且他可以把它們組成多項式。如果要做更復雜的曲線,只需要更多的相互連接的線就可以了。

 

8

 

圖8:Bézier cubic spline構成了PostScript和TrueType等桌面出版標準的主要部分。

到1966年,Bézier取得了與de Casteljau的courbes à p?les相同的結果,但與他的競爭對手不同的是,雷諾允許他發表他的發現。Bézier發明了以他的名字命名的計算機曲線。后來,這兩個人的方法在數學上得到了調和,并被廣泛被引用。后來,他們的幾何學方法被納入主流計算,直接使各個設計領域都受益匪淺。比如說,平面設計師們都會認識到貝齊爾曲線,在Adobe Illustrator這樣的軟件應用中,通過直觀地點擊和拖動頂點,就能順利地繪制出圖形。事實上,Adobe公司決定將其Postscript語言(以及蘋果公司的True Type)建立在cubic Bézier曲線的基礎上,導致了20世紀80年代的桌面印刷革命。它徹底改變了排版技術。普通電腦用戶可能不知道,貝齊爾曲線如此優雅地描述了字體的弧形輪廓,使文字在任何比例下都能流暢地打印出來,同時消耗的存儲空間幾乎可以忽略不計(見圖8)。

當然,汽車作為一種三維形式,并不僅僅是由一系列的復合曲線來定義。例如,鈑金車身板,幾乎每一點的曲率都是不同的。只定義每個零件的周長曲線并不能描述其內部輪廓。為了構造自由曲面,Bézier發現參考一種古老的鑄造技術是有用的,它是用來在鑄件上產生可變曲面的。將沙子裝入一個敞開的木箱中。箱子的兩個對立的頂部邊緣是彎曲的,這樣,當木板或模板拖過它們時,就會刮掉剩余的沙子,留下一個光滑的弧形表面。

 

9

 

圖9:Bézier將多項式曲線組合成三維曲面。以一個點的網格(黑色)為例,他在一個方向上建立了一組曲線(黃色)。沿著這些軌道等比例的點(藍色)形成了向相反方向行駛的曲線(粉紅色)。在每一個比例的距離上遞歸掃過這些軌道,就定義了一個曲面。底層的點的 “網 “可以很容易地、直觀地處理,從而形成一個曲面。

Bézier推測,只要能在模板被拖過導軌時調節模板的形狀,任何曲面都可以在一次穩定的掃描中形成。他再次制定了他的假設模具的數學結構(見圖9)。Bézier利用他新發現的曲線來勾勒出箱體的兩個弧形外緣。在這兩條曲線之間,插入另一對曲線,在一個方向上產生四條獨特的曲線。沿著這四條曲線中的每一條曲線的等比例的點可以連接起來,形成另一條橫向的曲線(類似于模板在外軌之間拖動)。當橫向曲線穿過四條導向曲線時,形狀沿著它們變形,并定義了一個光滑的自由曲面的輪廓??刂泣c的矩陣形成了一個底層控制網,其頂點可以很容易地被移動來塑造和雕刻所產生的曲面。和de Casteljau一樣,Bézier最初也遇到了來自高層管理人員對他的想法的抵制,他們告訴他:”如果你的系統有那么好,美國人就會先發明它!” 事實上,當時美國人還沒有這樣做,但通用汽車后來在計算機spline的發展過程中扮演了重要角色。

通用汽車公司當時的困境與法國汽車制造商的困境相似。到了1959年,該公司已經獲得了數控銑床,但缺乏一種數學語言來輸入流線型汽車的復雜形狀,而這些汽車的尾翼和造型都是太空時代的尾翼的造型。Carl de Boor,通用汽車公司的研究人員,設計出了一種用于B-splines的遞歸方法,這是一種相當隱晦的數學函數,由I. Schoenberg在20世紀40年代首次提出(盡管數學發展可以追溯到19世紀),用于順利地—盡管很費力地–繪制精算數據的圖形。在GM公司,B-Splines的強大靈活性和卓越的控制力通過遞歸計算速度真正釋放了出來。

 

10

 

圖10:閉合的 cubic B-splien。六個曲線段分別由四個點控制(每個控制點的顏色相對面積代表影響的大?。?。事實上,每個節之間的曲線段(黑鉆石)共享受其他曲線段影響的點,將它們融合成一條連續的平滑的spline。

與Bezier曲線一樣,B-spline也是由一組相連的控制點控制的。B-spline中的B代表了它的多個基礎函數。每一條曲線都定義了沿spline的重疊部分。重疊的子曲線被修剪,并以均勻的間隔捆綁在一起,貼切地稱為 “knot”。每個基礎 “段 “除了一個控制點外,其余的控制點都與相鄰的控制點共享(見圖10)。這個屬性將它們平滑地融合在一起,成為一個spline。移動一個控制點只影響到最接近它的線段,因為根據基礎函數的曲線公式,它的影響降為零。這樣,當控制點被移動時,可以對一個區域進行局部控制,但不會改變spline的其他部分。因此,B-Spline,就像它的物理名稱一樣,更加精確和可控。也可以將B-spline閉合,形成一個循環。在數學上,后來發現B-spline是對Casteljau算法的概括,包括它和更大范圍的幾何圖形。它也含了Bezier曲線。[xvi]

航空航天 - 尋找通用語言

 

11

 

圖 : Mustang P51的幾何圖形是以數字形式存儲在表格中,而不是紙質藍圖。

在航空航天工業中,曲率是最重要的,因為空氣動力學定律要求設計者繪制出平滑的曲線,并按照嚴格的公差制造。當然,早期的航空工程師們自然而然地改編了歷史悠久的海軍技術,用于制作飛機機翼和機身。在CAD廣泛出現之前,制圖師們使用靈活的spline曲尺來繪制曲線幾何圖形。但是,航空航天設計師們還采用了其他經典的幾何結構,這些結構可以追溯到1600年代。其中之一就是圓錐體。通過旋轉一個平面,它與圓錐的交點線產生一系列的圓、橢圓、拋物線和雙曲面(見圖11)。設計師可以通過將切線圓錐段串聯起來畫出機身的橫截面。一個有經驗的制圖師只需使用一把尺子,就可以從四個點出發,通過簡單而又費力地反復交錯和細分直線的過程來構造出這樣的圓錐曲線–這個過程與弦樂藝術并無二致。[xvii] 然而,要順利地將他們所繪制的點連接起來,仍然需要曲尺的幫助,將它們盡可能地貼合成一條平滑的曲線。

在第二次世界大戰期間,在機庫中loft飛機(很多術語和技術都是從造船業中繼承下來的)成為一種戰略負擔。一顆炸彈就能把戰術上至關重要的飛機的主模板毀掉。[xviii] 此外,圖紙可能被盜取或拍照,無法加密。Roy Liming是二戰期間的一名航空航天工程師,他在北美航空公司(戰后成為波音公司的一部分)工作,該公司生產戰斗機,如野馬戰斗機。通過將參數化的圓錐體轉換為算法,每架飛機的關鍵幾何形狀可以用數字存儲在表格中,而不是紙質藍圖。這變得很有優勢,因為數字可以安全地存儲,并且很容易傳輸。此外,它們提供了效率、準確性、可重復性和安全性。

 

12

 

圖11:圓錐是在平面和圓錐的各種可能的交點處計算出的數學曲線。

戰后,像波音公司這樣的私人航空航天承包商繼續使用Liming的公式。到了1950年代中期,該公司已經開發出了自己的設計軟件,在Liming的圓錐體基礎上繪制機身。然而,十年后,在設計人員的辦公桌前使用木制spline的情況仍然屢見不鮮。隨著CAD的普及,各部門購買或開發了自己的專門軟件來處理飛機的不同部件幾何形狀;例如,機翼設計需要連續spline來進行空氣動力學分析。整個60-70年代,在設計、制造和裝配飛機各部件時,這種方法的局限性越來越突出。

波音公司是早期計算機輔助設計中零散創新的一個縮影,由于各技術行業或部門的專業需求不同,計算機輔助設計往往會出現不同的變化。面對系統不兼容的問題,公司需要將其幾何圖形標準化,以便通過共享和協調設計幾何圖形和軟件,實現團隊的高效協作。1979年,公司任命了一個數學家小組,為11種曲線形式選擇標準的表示方式–從線、圓到Bézier曲線和B-spline。

該小組很快就意識到他們的目標應該是一個單一的、全面的曲線表示,而不是十一個單獨的曲線表示。他們設計出了合理的貝齊爾曲線–合理的意思是每個控制點的權重比可以變化(見圖12)??勺儥嘀乇仁沟镁_繪制圓錐體以及圓柱體和平面部分成為可能。幾年前,S. Coons在錫拉丘茲大學的博士生們將B-Spline模型擴展到有理和非均勻模型。波音公司將非均勻的B-Spline—其結點沿曲線非均勻分布–納入了他們的新表示方式。這種特性可以通過在一個位置放置多個結,在spline中引入尖角,有效地將曲線固定在該點上的角上。波音公司的團隊找到了一種將有理Bézier曲線和非均勻B型曲線結合在一起的方法。到1981年,他們設計出了一種新的幾何模型,可以滿足波音公司的所有需求,從簡單的線和圓,到最復雜的自由曲面和曲面。這種新的數學模型被稱為非均勻有理基線花鍵,簡稱NURBS。

 

13

 

圖12:NURBS的理性控制點可以單獨加權。黑色點的權重從0.001(粉紅色)到1,000(藍色)不等。

NURBS很快被工程師和設計人員所采用。同年,波音公司的研究人員說服了由工業和政府機構組成的聯合體–Initial Graphics Exchange Standard (IGES),采用了NURBS。IGES成為美國標準協會(ANSI)CAD標準,使其成為CAD軟件之間的數字交換語言。今天,各組織可以使用NURBS在同一軟件中繪制機身、機翼和幾乎任何設計部件,大大推進了設計團隊、軟件平臺或公司之間的集成和協作。如果沒有NURBS作為一種共享的幾何語言,我們就無法想象現代制造業–無論是汽車、航空航天還是其他產品–由專業分包商和供應商組成的團隊在共享的3D軟件模型上進行合作,并進行高精度的合作。

動畫 - 從拓撲學中解放出來

隨著計算機輔助設計的成熟,計算機動畫領域還處于起步階段。尤其是皮克斯公司(Pixar)是CGI(計算機圖形成像)的先驅,在1995年推出了第一部長篇電影《玩具總動員》。皮克斯的動畫師們用NURBS幾何圖形為影片的角色和道具進行了精心的建模。然而,事實證明,用NURBS的曲面建模和動畫化角色是非常困難的。NURBS僅限于拓撲學上的矩形表面,如扭曲的平面、圓柱體、球體和圓環形等(體積實際上是由修剪和彎曲的矩形表面產生的,其中一個或多個邊緣連接起來形成一個封閉的形狀)。但是,有機體很少有這么簡單的形式。它們的拓撲結構是任意的,有許多孔、折痕和突起。要用NURBS來重現這些類型的物體,需要一種零散的方法。

《玩具總動員》中的每一個角色–比如牛仔娃娃Woody–都是由單獨的NURBS表面拼接而成。每一個角色都必須經過巧妙的修剪和塑造,以創造出與下一個角色完美融合的假象。這個過程既昂貴、耗時,又容易出錯。更糟糕的是,在動畫制作過程中,人物的接縫處會出現笨拙地凸起或裂開的情況,需要花費數小時的人工逐幀校正。在下一部動畫短片《Geri’s Game》(1997年)中,皮克斯嘗試了不同的方法,用細分曲面來塑造人物的形象。[xxi]

 

14

 

圖13:細分曲面。原始網格被逐步細分為平滑形式,即使是復雜的拓撲結構也是如此。

Subdivision曲面建立在16年前Edwin Catmull(迪士尼和皮克斯動畫工作室現任總裁)和Jim Clark(Silicon Graphics的創始人)的研究基礎上,研究了遞歸統一的B-Spline曲面的可能性。細分曲面使建模師能夠從單一的3D形式中雕刻出他們的角色,這就像雕刻師從一塊泥土開始。在細分曲面的下方是一個控制多邊形,類似于光滑物體的粗切面。計算機通過在多邊形的頂點之間近似新的頂點,反復地對多邊形的頂點進行細分。多邊形被反復地細分,直到刻面細到消失成光滑的曲面(見圖13)。隨著現代計算機處理能力的提高,遞歸細分似乎是瞬時的。用戶可以簡單地移動底層控制網格的頂點,同時查看平滑化后的結果變化。

通過使用細分曲面,皮克斯的動畫師可以更容易地塑造出皮膚和衣服不符合簡單的正方形拓撲結構的角色。角色可以可靠地被動畫化為奔跑、跳躍和蹲下,而不至于在接縫處散開。附加的算法允許通過將控制多邊形的某些邊緣標記為 “硬”,從而使表面產生褶皺。指甲或眼皮的邊緣可以在不破壞與周圍皮膚的連續性的情況下進行鉸接和細節處理。皮克斯現在在其所有的動畫電影中都依賴細分曲面,該技術已經成為建模和動畫軟件中的標準功能。

動畫師向細分建模的遷移,是他們的行業技術與設計的分水嶺。設計師和工程師繼續青睞于NURBS,因為它提供了他們在精確制造現實生活中的產品所需要的精確曲率控制。動畫師–他們只需要關注一個移動的形狀如何在屏幕上出現–已經很高興地放棄了這種控制,轉而青睞于細分曲面提供的藝術靈活性和速度。針對航空航天、汽車和產品設計市場的軟件提供了一系列基于NURBS的復雜的參數化建模工具,這些工具的外觀和行為有點像細分曲面,但從根本上來說,它們仍然受制于NURBS的底層拓撲結構。

 

15

 

圖14:T-Spline。虛線代表了通過數學歸納得出的后來的關系。

計算機spline的歷史—-從嚴格的數學意義上說—-是連續的數學概括的記錄(見圖14)。換句話說,每一個繼任的幾何表示都包含和擴展了一個或多個前面的幾何表示,其目的是為了更大的包容性。例如,NURBS可以表示早期的圓錐體、貝塞爾曲線和B-splines,以及簡單的圓、弧和線。下一個合乎邏輯的步驟是NURBS和細分曲面之間的橋梁,因為它們有一個共同的共同祖先B-Spplines。這種重要的調和似乎是最近以T-Spline的形式出現的。[xxiii] 盡管從純數學角度來說,[xxiv]T型線還不是NURBS的完美概括,但T-Spline似乎正處于廣泛的商業化實施的邊緣,在一系列行業中都有廣泛的應用。它們與NURBS的前向和后向兼容,這意味著T-Spplines可以集成到現有的CAD/CAM工作流程中。開發商T-SPlines Inc. T-Splines承諾[xxv],通過將NURBS的精度和控制與細分曲面建模的直觀雕塑界面和拓撲自由度相結合,為設計者提供了一個卓越的3D工具集。

后續的發展最終將使設計師–或者說任何人–都能直觀地塑造物體,而不必受制于技術上的繁瑣和不靈活的混合不同表面的過程,由固定的結構幾何圖形構建而成。一旦出現這種情況,期望看到自由形狀設計的整合、銜接和精細化程度會更高。2013年,3D打印成為了主流。這一趨勢,再加上不斷提高的計算能力,以及軟件選擇的激增–尤其是免費和開源的替代品–將使復雜的幾何圖形大眾化,將使3D軟件的用戶群擴展到專業行業及其訓練有素的軟件操作人員之外。這種趨勢是否會導致觸覺計算機建模界面,就像折疊紙板、成型粘土或彎曲木條一樣觸手可及?spline的最新通用化使人類離完全掌握形式又近了一步。

關于雪鐵龍DS,羅蘭-巴特談到了 “一種新的組裝現象學,仿佛一個人從一個元素被焊接的世界進入了一個世界,在這個世界里,元素被并列在一起,并以其奇妙的形狀并存,當然,這當然是為了讓人準備好迎接更多的自然界的想法。” 巴特所設想的幾何學奇異性正在迅速逼近。

建筑---后裔形式

事實證明,動畫軟件提供的逼真的光照、材料和渲染質量比標準的CAD軟件包所能達到的可視化效果要好。因此,自20世紀90年代以來,建筑師們就開始使用動畫軟件作為設計工具。[xxvi]一個早期的震中是南加州(并非巧合),在那里,好萊塢特效軟件的主要倡導者Greg Lynn創造了blob架構這個詞。[xxvii] 除了逼真的渲染能力,動畫師的工具集–特別是細分曲面–為冒險的設計師們提供了雕塑的自由度,讓他們可以不受歐幾里得拓撲結構的限制,輕松地開發出不受約束的設計。因此,從那時起,閃亮的無定形形式從建筑學校中涌現出來,伴隨著大量的概念論述來證實這些新的形式方法。

盡管在計算機中制作異域的數字形式越來越容易,但對于實踐中的建筑師和工程師來說,一個挑戰依然存在:主要是,如何可行地構建這樣復雜的幾何體?在這方面,建筑、工程和建筑(AEC)已經取得了巨大的進步,但技術水平卻落后于制造領域,因為在制造領域,曲率是必須的。但是,這也是可以理解的。建筑物通常是一次性設計的,而不是在密封控制的工廠里,由機械手在海外大量生產。AEC行業并不像汽車制造業那樣整合,只有少數幾家公司控制著龐大的市場,花費數十億美元的研發預算來開發單一的產品。促使像Casteljau和Bézier這樣的早期先驅者提出的挑戰–利用計算將不規則的形式合理化成離散的部件,由早期的計算機化機床制造–目前仍在建筑領域展開。對于以細分面進行流暢設計的建筑師來說,一個關鍵的挑戰在于將概念形式的無限拓撲結構合理化為可以制造和組裝的離散構件。BIM(Building Information Management)和其他基于參數化的NURBS建模軟件通過邏輯關系組織三維建筑幾何形狀,通過在一個共同的三維平臺上整合制造和設計,有望使二維文檔變得過時。由于與NURBS不兼容,BIM工具到目前為止還缺乏細分面建模,但也許不會太久。

弧形建筑(Hadid、Gehry等)還遠未成為主流。它需要專業的軟件知識來設計(更不用說合理化和建造)這種表現主義的作品。盡管是用電腦設計的,但由愛好曲線的名人建筑師設計的建筑,需要額外的設計人力和3D CAD技術,尤其是與傳統的平面和正交的建筑相比。由于它們的建造難度大,通常來說,成本也更高(因此,復制和模仿的成本也更高),所以它們更獨特,(可以說)更有價值。然而,進入這個精英領域的門檻—-對如何生成和處理復雜幾何圖形的技術知識—-正在不斷降低,越來越強大和用戶友好的三維建模界面也在不斷降低。這些通過將復雜的數學spline操作抽象化,將其重新編碼成一組工具,模仿我們在現實世界中的制作經驗:loft, trim, extrude, lath, sweep, weld, sculpt等。T-Spline和其他潛在的泛化細分面和NURBS將消除一個重要的障礙,也許最終使自由形式的建筑物的設計和建造變得微不足道。

合理的比例和規律性是古典美學的基礎,其前提是對美和自然秩序的經驗性定義。這些定義在各種新古典主義的復興中被編纂、重復和重新解釋。spline也擁有可量化的參數,可以驗證其美學上的愉悅性。order、tangency和fairness是技術術語,定量地描述了spline的數學連續性。這些變量控制了曲率變化的扭曲,人眼可以識別為凸起、凹痕或折痕。本能地,我們對這些特征的感知能力很強–比如說,在欣賞希臘雕像的扭曲的軀干時。汽車制造商仍然依靠人的眼睛來檢查車身,在汽車下線之前,他們會將汽車通過隧道中的條形燈,確認車身的反光是否光滑。

spline和流動的表面不容易讓人產生規則和范式,因為它們似乎缺乏有限的尺寸–邊、角、邊、頂、墻等。在討論建筑設計時,我們也很難用文字來形容曲率。像造船、汽車和航空設計這樣的性能驅動型行業,更能理解曲率的可量化(更不用說高度市場化)的好處。研究spline的歷史發展軌跡,可以為當代建筑形式的發展提供一個更全面的視角,作為人類幾何學進步的一個延續。spline的每一次新的迭代都調和了不同的模型,使其向通用幾何學邁進了一步。隨著計算繼續侵蝕建筑的形式限制,曲率很快就會變得不起眼,就像我們日常消費的許多塑料制品一樣:一次性剃須刀、電腦鼠標、洗潔精瓶、水壺、塑料玩具等等…除去幾何學上的矯情,建筑師們可能會因為其微妙的復雜性、結構的優雅,以及(我敢說)純粹的美感而擁護這種spline形式。

 

16

 

[This article was originally published in the International Journal of Interior Architecture + Spatial Design, Applied Geometries (Jonathon Anderson & Meg Jackson, 2014).]

i?See vii and xiii.
ii?Woodman, Peter C. (1985). Excavations at Mount Sandel, 1973-77, County Londonderry (p. 197). London: H.M. Stationery Office.
iii?Rieth, Eric. (2003). First Archaeological Evidence of the Mediterranean Moulding Ship Design Method, The Example of the Culip VI Wreck. Spain, XIIth-XIVth c. (p. 11). In Horst Nowacki & Matteo Valleriani (eds). Shipbuilding Practice and Ship Design Methods From the Renaissance to the 18th Century. Berlin: Max Planck Institute for the History of Science.
iv?Nowacki, Horst. (2006). Developments in Fluid Mechanics Theory and Ship Design before Trafalgar (p. 8). Berlin: Max Planck Institute for the History of Science.
v?Mitchell, Bill. (2003). Roll over Euclid (p. 355). In Frank Gehry, Architect. Jean-Louis Cohen (ed). New York: Guggenheim Museum.
vi?Lueger, Otto. (1904). Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften. Stuttgart, Leipzig: Deutsche Verlags-Anstalt.
vii?Farin, Gerald E. (2002). A History of Curves and Surfaces in CAGD. In Handbook of Computer Aided Geometric Design. G. Farin, J. Hoschek, M.-S. Kim (eds). Amsterdam: Elsevier.
viii?Barthes, Roland. (1957). Mythologies. París: Seuil.
ix?de Casteljau, Paul de Faget. (1963). Courbes et Surfaces à P?les (p. 45, Technical Report). Paris: Citr?en.
x?de Casteljau, Paul de Faget. (1999). De Casteljau’s autobiography: My time at Citro?n. Computer Aided Geometric Design, 16.7, 583–586.
xi?Bézier, Pierre. (1998). A View of the CAD/CAM Development Period. IEEE Annals of the History of Computing 20.2, 37-40.
xii?Farin, Gerald E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD (p. 1). San Francisco, CA: Morgan Kaufmann.
xiii?Rogers, David F. (2000). An Introduction to NURBS With Historical Perspective (p. 36). San Francisco, CA: Morgan Kaufmann.
xivYoung, David. (1997). Garrett Birkhoff and Applied Mathematics. Notices of the AMS 44.11,1446-1450.
xv?Schoenberg, I. J. (1946). Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, Parts A and B. Applied Mathematics 4, 45-99.
xvi?Farin, “A History of Curves and Surfaces in CAGD,” 10.
xvii?Morrison, Derek & Neff, Gregory. (1997). Lofting and Conics in the Design of Aircraft (pp. 222–227). Proceedings of the ASEE Illinois/Indiana Section Conference.
xviii?Forrest, Robin. (1987). Forward. An Introduction to Splines for Use in Computer Graphics and Geometric Modeling. Richard H. Bartels, John C. Beatty, & Brian A. Barsky (eds). Los Altos, CA: M. Kaufmann Publishers.
xix?de Boor, Carl. (2014).A Draftman’s Spline. Carl de Boor’s Homepage. Retrieved from: http://pages.cs.wisc.edu/~deboor/draftspline.html
xx?Blomgren, Robert M. (2001). NURBS at Boeing. Retrieved from: http://www.smlib.com/white%20papers/nurbsatboeing.htm
xxi?DeRose, Tony D., Kass, Michael & Truong, Tien. (1998). Subdivision Surfaces in Character Animation. Computer Graphics: Proceedings : Annual Conference Series : SIGGRAPH 98 Conference Proceedings, July 19-24, 1998. New York: Association for Computing Machinery, 1998.
xxii?Catmull, Ed & Clark, Jim. (1978). Recursively Generated B-spline Surfaces on Arbitrary Topological Meshes. Computer Aided Design, 10(6), 350–355.
xxiii?Sederberg, T. W., Zheng J. , Bakenov A., & Nasri A. (2003). T-splines and T-NURCCs. ACM Transactions on Graphics 22, 477–484.
xxiv?Cashman, Thomas J. (2011). NURBS-compatible Subdivision Surfaces (Distinguished Dissertation) (p. 18). Swindon, UK: British Informatics Society Ltd, 2011.
xxv?Autodesk Inc. (2011). Autodesk Acquires T-Splines Modeling Technology Assets (Press Release).?xxvi?Lynn, Greg. (1995). Blobs. Journal of Philosophy and the Visual Arts 6, 39-44.
xxvii?Safire, William (2002, December 1) The Way We Live Now: 12-01-02: On Language; Defenestration. The New York Times.

DeBoor曲線算法

 

17

 

文中提到了DeBoor曲線算法, 它拓展了Bézier與de Casteljau 曲線.
本文的中文編輯馬海東開發了Grasshopper插件.
下載地址:?https://www.food4rhino.com/app/de-boors-algorithm

相關文章

建筑師為什么要會python編程?
Caad4Rhino:建筑繪圖工具插件
Rhino及Bob McNeel的故事(轉載)

建筑師編程課推廣

ikuku精選課 Python4Rhino建筑師編程課 第3期 2020.6.27開始線上直播!講師:馬海東

18

 

相關POST
什么是Bernstein多項式?
編輯: 馬海東 在貝塞爾曲線的定義中會涉及到一個數...
Rhino及Bob McNeel的故事(轉載)
我一直認為Bob McNeel是CAD軟件行業中為數不多的脫穎...
Caad4Rhino:建筑繪圖工具插件
Caad4Rhino 是一個由python語言開發的在rhino三維軟件...
建筑師為什么要會python編程?
設想一下,如果建筑師自己會編程, 那么建筑師也就具有...
2020.06.01
請帖個標簽,寫個點評吧!
標簽(多個標簽用逗號隔開) 登錄可保存標簽
綁定新浪微博可評論

小貼士


標簽收藏可以有利于您以后的內容分類管理
->進入收藏管理頁。


blog comments powered by Disqus
灵菲配资