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什么是Bernstein多項式?
來源:互聯網

編輯: 馬海東

在貝塞爾曲線的定義中會涉及到一個數學知識點:Bernstein多項式.

為了后續對貝塞爾曲線的講解,在這里簡要的對Bernstein多項式進行闡述.

謝爾蓋·納塔諾維奇·伯恩施坦(俄語:Серге?й Ната?нович Бернште?йн)(1880年3月5日—1968年10月26日)是一位俄國及蘇聯的數學家. 1912年, Bernstein多項式曾經被用來證明威爾斯特拉斯逼近定理(Weierstrass approximation theorem), 這在正文里面將會被提到.

以下為正文(轉載):

By Alon Amit, PhD in Mathematics; Mathcircler

from: https://www.quora.com/What-is-a-Bernstein-Polynomial

假設你在做一個實驗,成功的概率是u ,就像擲一枚偏心的硬幣或玩一個偶然的游戲。 如果你連續嘗試這個實驗 n 次,你成功的概率正好是 i 次,那么你成功的概率是多少?

你應該知道或者能夠確定答案是:

1

而這,其實就是Bernsteain多項式.

其中:

2

在這里: 我們是把視角從固定概率和可變成功次數轉移到固定成功次數和可變概率上。

從定義中,有幾件事應該馬上就能明白。首先,這是一個多項式。同時,對于[0,1]范圍內的u,多項式的值是非負數,并且不超過1( 既然我們可以將它們解釋為概率 )。

此外,我們可以直觀地看到它的表現。具體來說,我們把=100,i=40 。所以我們要求的是通過嘗試100次,正好得分40次成功的可能性。

現在,很明顯,如果概率u恰好是u=0.4 ,那么在40%的嘗試中成功的可能性應該是合理的(事實上,獲得精確的40次成功的可能性大約是8%,這聽起來不大,但它比使用其他u值要好得多)。

另一方面,如果u遠離0.4,那么這個概率很快就會變得小得離譜。例如,想象一下,u正好是0.7 。那么你就會期望70次成功。得到60次似乎不太可能,但仍有可能,但得到50次是非常意外的,應該是極其罕見的,而40次成功是你永遠也想不到會發生的。事實上,在概率為0.7的情況下,40次成功的可能性不到十億分之一。

這對我們的多項式意味著什么?意味著給定的n,i,多項式的值非常強烈地集中在u最可能的值周圍,也就是i/n。事實上,這里有一張在0≤u≤1范圍內的b 100,40(u)的圖。

3

當我們增加n的值時,鐘形變的更窄:試驗次數越多,成功次數越不可能明顯偏離預期值。

因此,多項式的峰值總是在u=i/n處,并迅速向左和向右衰減。這就是伯恩斯坦多項式的關鍵作用: 它的行為在一個特定的點上有一個尖峰外,其他地方都是0,在這種情況下就是i/n 。伯恩斯坦多項式的總面積并不是1,但是曲線下的總面積(多項式從0到1的積分)很容易被確定為1/(n+1),與i無關。

由于這種性質,Bernstein多項式可以很自然地組合成近似于[0,1]上的任何連續函數。給定這樣一個函數f,我們定義一個近似值Bn[f]為:

4

我們只是在0,1/n,2/n,…1這幾個點對函數進行采樣,然后將每個采樣乘以該點的 “尖峰 “多項式。 令人高興的是,來自每個Bernstein多項式的總面積的歸一化因子正是我們所需要的,如果你用常數函數f(x)=1來試一試,你就會發現。

然后我們可以很容易地證明,Bn[f]與f本身并沒有太大差別,而且隨著n的增長,差別會減小到0,這個結果對所有u都成立。因此,Bernstein多項式為Weierstrass逼近定理提供了明確的證明,該定理指出,連續函數可以被多項式均勻地逼近。

全文結束

貝塞爾曲線的簡史

貝塞爾曲線的數學基礎是早在 1912 年就廣為人知的伯恩斯坦多項式。 但直到 1959 年,當時就職于雪鐵龍的法國數學家 Paul de Casteljau 才開始對它進行圖形化應用的嘗試,并提出了基于一種數值穩定的 de Casteljau 算法。

然而貝塞爾曲線的得名,卻是由于 1962 年另一位就職于雷諾的法國工程師 Pierre Bézier 的廣泛宣傳。他使用這種只需要很少的控制點就能夠生成復雜平滑曲線的方法,來輔助汽車車體的工業設計。

正是因為控制簡便卻具有極強的描述能力,貝塞爾曲線在工業設計領域迅速得到了廣泛的應用。不僅如此,在計算機圖形學領域,貝塞爾曲線一直占有重要的地位。

n階貝塞爾曲線的定義

5

比較貝塞爾曲線函數C之前正文里面的函數B可以看出, 只要把B函數里面的f替換為點P,就是貝塞爾曲線的定義了.

1-2階貝塞爾曲線:

n=1:

當n=1的時候可以用來表示直線.

6

7

 

 

 
n=2:

當n>=2的時候可以用來表示曲線.

8

09

 

 

 
在后續的blog會對貝塞爾曲線詳細展開闡述.

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